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blog:menu [2012/11/21 20:24] ernesto |
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| ====== Blog de Mecânica Quântica 1 da Pós - 2012.2 ====== | ====== Blog de Mecânica Quântica 1 da Pós - 2012.2 ====== | ||
| + | ==== Aula 31, sexta 14/12==== | ||
| + | Hoje devolvi as listas 7 e 8 corrigidas. Resolvemos os problemas da lista 9, e revisitamos os problemas mais complicados das listas 7 e 8. Na segunda-feira 17/12 estarei na minha sala à tarde para tirar dúvidas; na quarta 19/12 teremos nossa 3a prova a partir das 10h. Bom estudo! | ||
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| + | ==== Aula 30, quarta 12/12 ==== | ||
| + | Hoje discutimos a teoria de perturbação independente do tempo, para o caso de níveis de energia degenerados. | ||
| + | * Assumimos que o estado perturbado pode ter componente grande em todos os estados degenerados, ou quase. Isso muda a forma da expansão do auto-estado, e leva a uma expressão diferente para as correções de energia até segunda ordem de teoria da perturbação. Vimos que temos que montar uma matriz Hermitiana (que chamamos de Hamiltoniana efetiva), cujos autovalores nos dão as correções de energia até segunda ordem. | ||
| + | * Exemplos: Hamiltoniana simples de 3 níveis; efeito Stark linear. Nesse segundo exemplo as regras de seleção associadas à simetria de paridade facilitaram nosso cálculo da Hamiltoniana efetiva. | ||
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| + | O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 6, páginas 9 a 14. | ||
| + | ==== Aula 29 (extra), seg. 10/12==== | ||
| + | Hoje começamos a discutir a teoria de perturbações independentes do tempo. | ||
| + | * Definição do que queremos fazer: encontrar aproximações para autovalores e autovetores de uma Hamiltoniana perturbada "próxima" de uma Hamiltoniana não-perturbada que sabemos resolver. Encontramos os autovetores até primeira ordem no parâmetro perturbativo, e autovalores até segunda ordem. | ||
| + | * Aplicações: efeito Stark quadrático; poço infinito 1D com função delta no meio; OH com constante elástica ligeiramente alterada. Sabemos resolver este último exemplo exatamente, o que nos permitiu comparar os autovalores de energia obtidos perturbativamente com a solução exata. | ||
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| + | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 6, páginas 1 a 8]]. | ||
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| + | Atendendo a pedidos, uma dica para a solução do problema 3 da lista 8. No item a), vocês precisam usar um resultado conhecido sobre a (não) degenerescência de problemas com potenciais unidimensionais; no item b) basta analisar um exemplo, o caso do operador p de uma partícula livre, juntamente com o operador paridade. | ||
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| + | ==== Aula 28, sexta 30/11 ==== | ||
| + | * Paridade: vimos como funciona a quebra espontânea de simetria no exemplo do poço quântico duplo. Quando o a energia do estado fundamental passa a ser degenerada, os auto-estados correspondentes passam a não ser mais auto-estados de paridade. Podemos então, por exemplo, observar a partícula localizada em um dos poços, embora o potencial seja par. | ||
| + | * Vimos outra consequência da simetria de paridade, que são regras de seleção para elementos de matriz da posição, e de outros observáveis com paridade definida. | ||
| + | * Simetrias por translações discretas: consequências. Vimos que auto-estados de energia são um produto de uma onda plana e de uma função com a periodicidade do potencial. Este é o teorema de Bloch, e tem aplicações em toda a matéria condensada, onde elétrons sentem um potencial periódico criado pelos íons da rede cristalina. | ||
| + | * Este semestre não discutimos a simetria de reversão temporal; para quem tiver interesse, vejam as notas de aula do capítulo 5, páginas 11 a 20. | ||
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| + | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 5, páginas 8 a 10 e duas páginas sobre o teorema de Bloch]]. | ||
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| + | ==== Aula 27, quarta 28/11 ==== | ||
| + | Hoje começamos a estudar simetrias. | ||
| + | * Relembramos como simetrias aparecem nos formalismos Lagrangeano e Hamiltoniano. Na MQ, vimos que uma quantidade conservada é um operador Hermitiano que comuta com a Hamiltoniana; se a Hamiltoniana é invariante por uma transformação, então o gerador dessa transformação será uma quantidade conservada. | ||
| + | * Vimos como a degenerescência de um nível de energia está ligada às simetrias da Hamiltoniana. | ||
| + | * Estudamos a simetria de paridade, ou inversão espacial. Propriedades do operador de paridade; como se transformam p, x, J. Autofunções do operador de paridade (exemplo: harmônicos esféricos). | ||
| + | * Provamos um teorema que diz que auto-estados não degenerados de energia de um Hamiltoniano invariante por paridade devem ser auto-estados de paridade também. | ||
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| + | O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 5, páginas 1 a 8. | ||
| + | ==== Aula 26 (extra), seg. 26/11==== | ||
| + | * Começamos aprendendo a usar uma tabela de coeficientes de Clebsch-Gordan para resolver dois problemas simples de adição de momento angular. | ||
| + | * Em seguida vimos o que define um operador escalar (invariância dos valores esperados por rotações) e vetorial (valores esperados se transformam como vetores clássicos). Vimos que os componentes de grandezas vetoriais têm que satisfazer uma regra de comutação simples com os componentes do momento angular. Provamos um teorema, e o usamos para obter regras de seleção para grandezas vetoriais, indicando um grande número de elementos de matriz de grandezas vetoriais que têm que ser nulos. | ||
| + | * O resultado que obtivemos é um exemplo simples de um teorema mais geral, conhecido como teorema de Wigner-Eckart, que diz como podemos calcular os elementos de matriz de operadores vetoriais e tensoriais, usando o operador de momento angular. | ||
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| + | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 4, páginas 28c a 34]]. As páginas seguintes das notas descrevem um caso simples do [[http://info.phys.unm.edu/~ideutsch/classes/phys522s03/lecturenotes/tensoroperators.pdf|teorema de Wigner-Eckart]], mas não cobriremos isso neste semestre. | ||
| + | ==== Aula 25, sexta 23/11==== | ||
| + | * Vimos a relação entre harmônicos esféricos e matrizes de rotação. | ||
| + | * Vimos o que é o problema de adição de momento angular em mecânica quântica. Trata-se de encontrar os operadores correspondendo ao momento angular de um sistema composto; como seus autovetores se relacionam aos dos operadores de momento angular dos subsistemas que o compõem; e como calcular probabilidades de encontrar qualquer autovalor em medidas do sistema global, dada uma preparação de auto-estados dos subsistemas, e vice-versa. Resolvemos o problema passo-a-passo para dois sistemas de spin 1/2, e discutimos como formular o problema geral. | ||
| + | * Vimos algumas propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan (as amplitudes de probabilidade associadas às probabilidades mencionadas acima). | ||
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| + | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 4, páginas 20 a 27]]. | ||
| ==== Aula 24, quarta 21/11 ==== | ==== Aula 24, quarta 21/11 ==== | ||
| * Vimos que o cálculo do operador de rotação para certo valor de j se reduz ao cálculo da representação matricial do operador de rotação em torno de um eixo fixo, no caso que vimos em sala, o eixo y. | * Vimos que o cálculo do operador de rotação para certo valor de j se reduz ao cálculo da representação matricial do operador de rotação em torno de um eixo fixo, no caso que vimos em sala, o eixo y. | ||
| Linha 6: | Linha 53: | ||
| O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 4, páginas 14 a 20]]. | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 4, páginas 14 a 20]]. | ||
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| + | Como discutimos em sala, haverá algumas mudanças no nosso cronograma de aulas e provas nesse fim de ano. Teremos aulas extras nas segundas-feiras 26/11, 10/12 e 17/12 (esta última uma aula de revisão antes da P3), com a P3 no dia 19/12 às 10h. Devido a uma viagem acadêmica que farei, não teremos aula nos dias 5/12 e 7/12. | ||
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| ==== Aula 23, quarta 14/11 ==== | ==== Aula 23, quarta 14/11 ==== | ||
| * Vimos que o operador de evolução temporal de um spin em campo magnético constante é, ao mesmo tempo, o operador de rotação em torno do eixo do campo magnético. Fizemos o cálculo de duas formas; uma delas, a que usa a fórmula de Baker-Hausdorf-Campbell, serve para mostrar que os valores esperados dos componentes de spin giram, independentemente de que spin (ou seja, este cálculo não requer que seja um spin 1/2). | * Vimos que o operador de evolução temporal de um spin em campo magnético constante é, ao mesmo tempo, o operador de rotação em torno do eixo do campo magnético. Fizemos o cálculo de duas formas; uma delas, a que usa a fórmula de Baker-Hausdorf-Campbell, serve para mostrar que os valores esperados dos componentes de spin giram, independentemente de que spin (ou seja, este cálculo não requer que seja um spin 1/2). | ||
